Comme nous le savons tous, les points représentant les entiers positifs sur l’axe des nombres sont répartis de manière espacée, et il est toujours possible de trouver un autre nombre rationnel entre deux nombres rationnels quelconques, par exemple leur moyenne. Cela semble indiquer que les nombres rationnels sont beaucoup plus nombreux que les entiers positifs. Cependant, il y a autant de nombres rationnels que d’entiers positifs. En d’autres termes, l’ensemble des nombres rationnels peut être mis en correspondance biunivoque avec l’ensemble des entiers positifs.
Ce fait a été découvert par Cantor en 1873. Il a d’abord considéré l’ensemble des nombres rationnels positifs. En suivant l’ordre présenté ci-dessous, nous pouvons établir une correspondance biunivoque entre l’ensemble des nombres rationnels positifs et l’ensemble des entiers positifs. De toute évidence, chaque nombre rationnel positif apparaît dans cette matrice. Si nous réordonnons successivement les nombres en suivant les flèches et que nous supprimons ceux qui sont déjà apparus, nous obtenons une suite infinie de tous les nombres rationnels positifs. Par conséquent, c’est une suite infinie de tous les nombres rationnels. Ainsi, nous avons établi une correspondance biunivoque entre l’ensemble des nombres rationnels et l’ensemble des entiers positifs, ce qui signifie qu’il y a autant de nombres rationnels que d’entiers positifs.