Nós aprendemos na escola a resolver equações, sendo que a maioria das que resolvemos são as chamadas equações algébricas, como 3x -1 = 0 ou x 2 -2x -8 = 0. Uma das principais características dessas equações é que todos os termos que contêm variáveis incluem apenas potências inteiras da variável. Além disso, essas equações têm duas características importantes: o número de termos é limitado e os coeficientes das variáveis são inteiros. Agora, vamos responder à seguinte pergunta: todos os números reais são raízes de equações algébricas com coeficientes inteiros? Para simplificar, vamos chamar as equações algébricas com coeficientes inteiros de equações algébricas. Primeiramente, é óbvio que todos os números racionais q = m/n são raízes da equação algébrica nx m = 0, onde m e n são inteiros (n ≠ 0). Em segundo lugar, qualquer pessoa que tenha estudado equações quadráticas de primeiro grau sabe que as raízes das equações algébricas não precisam ser racionais. Por exemplo, as duas raízes de x 2 -2 = 0 são irracionais. Portanto, as raízes das equações algébricas com coeficientes inteiros podem ser racionais ou irracionais, o que, pelo menos superficialmente, oferece o potencial de representar todos os números reais.
No entanto, o potencial não é o mesmo que a capacidade, e isso requer prova. O primeiro a negar a pergunta "todos os números reais são raízes de equações algébricas com coeficientes inteiros?" e fornecer uma prova foi o matemático francês Liouville. Ele não apenas provou que alguns números reais não são raízes de nenhuma equação algébrica com coeficientes inteiros, mas também construiu números reais que não são raízes de tais equações, dando uma resposta negativa da forma mais eloquente. Os números reais não-algebraicos construídos por Liouville foram expressos como números de fração contínua, e mais tarde ele também construiu esses números usando números decimais. Em homenagem à contribuição de Liouville, os números que ele construiu são chamados de números de Liouville.
Agora sabemos que muitos números reais importantes, como a base do logaritmo natural e, o número π, não são raízes de equações algébricas com coeficientes inteiros. Para facilitar a expressão, os matemáticos chamam os números que podem ser representados por raízes de equações algébricas com coeficientes inteiros de números algébricos, e os que não podem ser representados por raízes de equações algébricas com coeficientes inteiros são chamados de números transcendentes. Os números reais incluem tanto números algébricos quanto números transcendentes. Os números e são exemplos de números algébricos; e e π são exemplos de números transcendentes. Podemos reformular nossa pergunta usando esta nova terminologia: todos os números reais são números algébricos? A resposta, como mencionado acima, é negativa.
No entanto, apesar da resposta ter sido revelada, provar que um número específico é transcendente geralmente não é uma tarefa fácil. Por exemplo, para provar que as duas constantes mais importantes, e e π, são transcendentes, os matemáticos gastaram muito esforço. O caráter transcendente de e foi provado pelo matemático francês Hermite em 1873. Já a demonstração de que π é transcendente foi ainda mais difícil, e só foi provada pelo matemático alemão Lindemann em 1882. E se combinações simples como e + π e e - π são transcendentes ou não, ainda é um mistério até hoje.
Em seguida, podemos fazer outra pergunta: quantos números algébricos existem em comparação com os números transcendentes? Considerando que a construção e a prova de números transcendentes são tão difíceis, muitos leitores podem supor que apenas um número muito pequeno de números é transcendente. Na verdade, é exatamente o contrário. Em 1874, o matemático alemão Cantor provou que os números transcendentes são muito mais numerosos do que os números algébricos (aqui estamos falando de conjuntos infinitos). Na verdade, ele provou que quase todos os números reais são transcendentes - ou seja, se aleatoriamente selecionarmos um número reais, a probabilidade de ele ser um número algébrico é 0!
A existência de números transcendentes não tem apenas um significado abstrato de classificação, mas também pode resolver alguns problemas matemáticos concretos. Por exemplo, o comprimento dos segmentos que podem ser construídos por reta e compasso geométricos foi provado que só pode ser um número algébrico (dada uma unidade de comprimento). Portanto, π é transcendente, um resultado que parece ter apenas um significado abstrato de classificação, mas que, como mencionado acima, foi provado diretamente.Um dos "Três Problemas da Quadratura do Círculo", que tem intrigado os matemáticos por mais de 2300 anos, é impossível de resolver.