Para a maioria das pessoas, "o todo é maior que a soma das partes" é um facto incontestável e óbvio. O matemático grego Euclides também o escreveu como um axioma no seu livro "Os Elementos". Agora, se alguém lhe dissesse que o todo e as suas partes podem ser igualmente numerosas, ficaria surpreendido?
Para explicar esta questão, vamos primeiro considerar o que significa dizer que duas coisas têm o mesmo número. Suponhamos que, num espetáculo, vemos que todos os lugares estão ocupados e que ninguém está de pé. Não precisamos de contar os lugares e as pessoas para saber que são o mesmo número. Isto porque podemos estabelecer uma correspondência um a um entre os lugares e as pessoas. Em termos abstratos: se dois conjuntos puderem ser postos em correspondência um a um, então o número de elementos de ambos os conjuntos é igual. Obviamente, um conjunto finito não pode ser posto em correspondência um a um com uma parte do mesmo. Mas o que acontece com os conjuntos infinitos?
Em 1638, o físico italiano Galileo registou no seu livro o seguinte facto surpreendente: isto mostra que todos os números inteiros positivos correspondem aos seus quadrados, portanto, os quadrados e os números inteiros positivos são igualmente numerosos. Mas os quadrados são apenas uma parte dos números inteiros positivos, por isso os números inteiros positivos podem ser igualmente numerosos como as suas partes. A descoberta de Galileo não chamou a atenção das pessoas na época. Duzentos anos depois, um matemático checo chamado Bolzano voltou a apontar o mesmo facto, de forma ainda mais geral: um conjunto infinito pode ser posto em correspondência um a um com o seu subconjunto. Mas, novamente, isto não chamou muita atenção. Foi só depois de 1872 que o matemático alemão Cantor começou a estudar realmente os conjuntos infinitos. Cantor estava convencido de que a capacidade de um conjunto ser igual ao seu subconjunto era uma característica essencial dos conjuntos infinitos. Além disso, descobriu que havia muito mais coisas sobre os conjuntos infinitos que as pessoas não podiam imaginar.