Todas as equações algébricas de um só membro têm uma fórmula de resolução? Equações como 2x -6=0, x 2 -3x +2=0, x 3 -5x -12=0... são chamadas de equações algébricas de um só membro. De acordo com o grau do termo mais alto, elas são chamadas de equações algébricas de primeiro grau, de segundo grau, de terceiro grau, etc. Para as equações algébricas de primeiro grau, a resolução é extremamente simples. Quanto às equações algébricas de segundo grau, muitas civilizações antigas também descobriram as respostas corretas através da exploração. De fato, para uma equação algébrica de segundo grau a x 2 +b x +c =0 (a ≠0), temos a seguinte fórmula de resolução: Na fórmula, as soluções da equação são expressas através das operações de adição, subtração, multiplicação e raiz dos coeficientes da equação. Portanto, as soluções dadas por esta fórmula são chamadas de soluções radicais da equação.
Em 12 séculos, os matemáticos europeus dominaram o método de resolução de equações de segundo grau. Depois disso, começaram a explorar a resolução de equações algébricas de terceiro grau. Após vários séculos, muitas pessoas falharam. Em 1494, alguns matemáticos até fizeram uma previsão pessimista: resolver equações de terceiro grau é tão impossível quanto transformar um círculo num quadrado. No entanto, por volta do ano 1500, o matemático italiano Ferrari obteve sucesso inicialmente na resolução de equações algébricas de terceiro grau com uma variável. No entanto, ele não publicou os seus resultados e, antes de morrer, transmitiu a sua solução aos seus alunos, Fior e outros. Pouco depois, outro matemático italiano, Tartaglia, afirmou ter descoberto o método de resolução de equações de terceiro grau. Em 1535, uma competição pública teve lugar entre Fior e Tartaglia. Eles concordaram em resolver 30 problemas de equações de terceiro grau cada um e o vencedor seria aquele que resolvesse mais problemas. Inicialmente, Tartaglia só dominava a resolução de equações de terceiro grau sem um termo de primeiro grau. Para ganhar a competição, ele passou vários dias a reflectir e, na véspera da competição, finalmente encontrou soluções para vários tipos de equações de terceiro grau. O resultado da competição foi uma vitória esmagadora de Tartaglia.
Logo após a competição, outro matemático, Cardano, ouviu falar do acontecimento. A partir daí, ele pediu várias vezes a Tartaglia a solução de equações de terceiro grau. Finalmente, após jurar nunca revelar o segredo, Tartaglia abriu o seu segredo a Cardano. Depois disso, Cardano, após investigação, finalmente obteve soluções e provas para todos os tipos de equações de terceiro grau. Em 1545, Cardano publicou a sua obra matemática mais importante, o Ars Magna, tornando públicas as suas descobertas. Ao mesmo tempo, o livro também incluía uma descoberta importante do seu aluno Ferrari: a solução geral de equações de quarto grau. A quebra da promessa de Tartaglia irritou Cardano e uma disputa inevitavelmente ocorreu. Em 10 de agosto de 1548, um debate público em Milão levou a disputa ao auge. Nesta competição pública, mas injusta, Tartaglia falhou. Até agora, a fórmula de resolução de equações de terceiro grau ainda é conhecida como a fórmula de Cardano.
No entanto, a matemática nunca pára. A resolução de um problema muitas vezes significa o nascimento de novos problemas. Após o Ars Magna, as pessoas imediatamente se lançaram na próxima competição, que é encontrar a fórmula de raiz para equações de quinto grau. Ninguém duvidava de que, com talento suficiente, as equações de quinto grau de um só membro também poderiam ser resolvidas. Mas um século passou, e outro século passou, sem sucesso.
No final de 1823, ocorreu uma verdadeira ruptura. Com apenas 21 anos, o matemático norueguês Abel provou que as equações algébricas de quinto grau de um só membro não têm solução radical. Esta foi a razão pela qual, durante mais de dois séculos, as pessoas procuraram em vão esta "taça sagrada". AbelVocê fez algumas cópias dos resultados da sua pesquisa. Para poupar nos custos de impressão, ele condensou o núcleo das suas ideias em apenas 6 páginas. As provas demasiado simplificadas tornaram o seu artigo difícil de compreender, pelo que não deixou uma impressão positiva na comunidade matemática na altura. Abel, que foi atormentado pela pobreza e pela doença durante toda a sua vida, morreu a 6 de abril de 1829, com menos de 27 anos, devido a uma doença.
Logo após a morte de Abel, as suas provas começaram a ser aceites, mas ainda havia novos problemas por resolver. Quais as equações que podem ser resolvidas por radicais e quais não podem? Existiria um método de discriminação adequado? Abel não teve tempo de resolver este problema, deixando-o para Galois, um dos matemáticos mais lendários e trágicos de toda a história da matemática.
Aos 17 anos, Galois já tinha feito progressos nesta área e, nos anos seguintes, apresentou vários artigos de investigação. No entanto, os seus artigos foram rejeitados, perdidos ou não compreendidos, e Galois ficou cada vez mais frustrado por não ser reconhecido pela comunidade matemática. Seguiram-se uma série de infelicidades pessoais. Sob um grande impacto, a sua paixão virou-se para a política, o que o levou a ser preso duas vezes. Em 1832, ele envolveu-se num duelo sem sentido. Na noite anterior ao duelo, ele trabalhou durante toda a noite para fazer uma breve descrição dos seus resultados de investigação. Em 30 de maio de 1832, Galois caiu durante o duelo e morreu no dia seguinte, com apenas 21 anos. Mais de 10 anos depois, os seus artigos foram editados e publicados, e o seu génio foi reconhecido.
A beleza das ideias de Galois reside no facto de ele não só ter provado que as equações algébricas univariadas de quinto grau (e superiores) não podem ser resolvidas por radicais, mas também ter explicado por que as equações algébricas univariadas de segundo, terceiro e quarto grau podem ser resolvidas. O seu trabalho forneceu também um critério claro para determinar se uma equação algébrica tem ou não uma solução por radicais, resolvendo assim o problema de 300 anos sobre a resolubilidade das equações algébricas por radicais. O significado histórico do trabalho de Galois reside no facto de, ao resolver este problema, ele ter introduzido a ideia de teoria de grupos, abrindo uma nova era na investigação matemática.