Os números primos são finitos ou infinitos? Esta é uma questão muito básica. Na verdade, os números primos são infinitos, mas isso não é óbvio. A primeira prova da infinitude dos números primos aparece na famosa obra de Euclides, Os Elementos, no teorema 20 da nona parte. Euclides utilizou a prova por contradição. Suponha que existam apenas k números primos, ordenados de menor para maior como p1, p2, ..., pk, e considere P = p1p2...pk + 1. Obviamente, pk > pk^, portanto, pk deve ser um número composto. Suponha que pk seja um fator primo de pk, então p deve ser um dos números p1, p2, ..., pk, o que implica que p divide 1. Isso é uma contradição. Isto prova que os números primos são infinitos.
Outra prova da infinitude dos números primos foi dada por Euler. Também usando a prova por contradição, suponha que existam apenas k números primos, ordenados de menor para maior como p1 = 2, p2 = 3, ..., pk, onde k é um inteiro positivo. Examine o produto, que é obviamente um número inteiro finito. Usando a fórmula de soma de progressão geométrica e o teorema fundamental da aritmética, cada número inteiro maior que 1 pode ser escrito como o produto de algumas potências de p1, p2, ..., pk. Portanto, removendo todos os parênteses da primeira equação, obtemos: Mas Euler já sabia que a soma dos inversos dos números inteiros à direita da equação é infinita, o que é uma contradição. Assim, prova-se que os números primos são infinitos.
Se os números primos fossem apenas finitos, muitos problemas da teoria dos números não seriam considerados problemas (e até mesmo o problema de Goldbach deixaria de existir). Mas, assim, o charme e o valor de pesquisa da teoria dos números seriam muito reduzidos. A prova de Euler, embora um pouco mais complexa do que a de Euclides, inspirou o matemático alemão Riemann a estudar a distribuição dos números primos usando a função ζ.
Depois de provar que os números primos são infinitos, podemos fazer uma pergunta mais profunda: quantos números primos existem em um número grande x na reta numérica? No final do século XVIII, Gauss e Legendre especularam que o número de números primos não superiores a x era aproximadamente x/lnx, e que este valor aproximado se tornaria mais preciso à medida que x aumentasse. A conjectura de Gauss forneceu a taxa de aumento do número de números primos não superiores a x à medida que x aumentava.
Para provar esta conjectura, Riemann propôs e desenvolveu a teoria da função ζ. O trabalho de Riemann foi claramente inspirado pela prova de Euclides da infinitude dos números primos. Seguindo a direção indicada por Riemann, 100 anos após a conjectura de Gauss, em 1896, os matemáticos franceses Hadamard e o belga Deligne deram uma prova, e desde então, esta conjectura passou a ser conhecida como o Teorema dos Números Primos.
Durante o desenvolvimento da teoria da função ζ, Riemann propôs a famosa Conjectura de Riemann, que até agora não foi provada. A Conjectura de Riemann está intimamente ligada à distribuição dos números primos, e uma de suas formas equivalentes é: o Teorema dos Números Primos tem o melhor termo de erro possível.