O matemático alemão Cantor, fundador da teoria dos conjuntos, apresentou uma teoria sobre conjuntos infinitos que, por assim dizer, chocou o mundo. No início, enfrentou grande resistência e até oposição pública. No entanto, muitos matemáticos apoiaram esta teoria, incluindo o grande matemático do século XX, Hilbert. Diz-se que, para ilustrar as propriedades do infinito, Hilbert contou a seguinte história numa palestra.
Imaginemos um hotel com um número finito de quartos, todos ocupados. Chega um novo hóspede que quer um quarto. O dono do hotel diz: "Desculpe, todos os quartos estão ocupados". Imaginemos agora um hotel com um número infinito de quartos, todos ocupados. Chega também um novo hóspede que quer um quarto. "Mas... sim, não há problema!" diz o dono do hotel, após refletir. Em seguida, ele muda o hóspede do quarto n.º 1 para o n.º 2, o do quarto n.º 2 para o n.º 3, o do quarto n.º 3 para o n.º 4, etc., de modo que o novo hóspede fica no quarto n.º 1, que ficou vago.
Ainda no mesmo hotel, com todos os quartos ocupados, chegam infinitos novos hóspedes que querem um quarto. Com base na experiência anterior, o dono do hotel diz prontamente: "Está bem, senhores, esperem um pouco". Em seguida, ele muda o hóspede do quarto n.º 1 para o n.º 2, o do quarto n.º 2 para o n.º 4, o do quarto n.º 3 para o n.º 6, etc. Assim, todos os hóspedes anteriores ficam nos quartos com números pares, e os novos hóspedes podem ocupar diretamente os quartos com números ímpares que ficaram vagos. Desta forma, todos os novos hóspedes ficam satisfeitos e conseguem alojamento.
Esta é a história que vamos relatar aqui. Mais tarde, este hotel passou a ser conhecido como o Hotel de Hilbert. Hilbert contou esta história para que as pessoas compreendessem melhor o conceito de "conjuntos infinitos". O facto de o dono do hotel conseguir sempre acomodar os novos hóspedes quando todos os quartos estavam ocupados deve-se ao facto de, em cada vez, estabelecer uma correspondência um a um entre um conjunto infinito e outro conjunto infinito.