Nos filmes, vemos frequentemente um tipo de jogo de azar nos casinos, em que se aposta uma quantia numa opção de maior ou menor. Se perder, perde a quantia apostada, mas se ganhar, ganha uma quantia igual à que apostou. Diz-se que existe uma estratégia "garantida de ganhar" para este tipo de jogo de azar, conhecida como o método da "aposta dupla".
A estratégia da aposta dupla é a seguinte: na primeira vez, aposta uma quantia mínima de a yuan. Se perder, duplica a aposta para 2a yuan. Se perder novamente, duplica novamente para 4a yuan. Assim, cada vez que perde, duplica a aposta até ganhar. Depois, volta a começar com a aposta mínima e repete o processo. Suponhamos que perdeu n vezes antes de ganhar. Nesse caso, perdeu um total de a + 2a +... + 2^(n-1)a = (2^n - 1)a yuan, e ganha 2^n a yuan na próxima aposta. Portanto, ganha sempre a quantia inicial de a yuan! Parece que, se continuar a jogar, ganhará sempre. Parece ser uma estratégia infalível para ganhar.
Mas isso é verdade? Na realidade, muitas pessoas que conhecem este método da "aposta dupla" vão aos casinos para testar a sua sorte. No entanto, o resultado é, na maioria dos casos, perder tudo. Ou seja, esta estratégia para ganhar não funciona. Porquê? Porque, mesmo que o jogador ganhe sempre, só consegue ganhar o mínimo de a yuan. Mesmo que ganhe n vezes seguidas, só ganha na-1 yuan, e o dinheiro ganho aumenta numa progressão geométrica, o que significa que o aumento é lento. No entanto, se perder, o montante perdido duplica muito rapidamente. Se o jogador tiver um capital limitado, pode perder tudo antes de ter a oportunidade de ganhar. Por exemplo, um jogador que traz 10 000 yuan para jogar, com uma aposta mínima de 10 yuan, perderá 10 000 × (2^10 - 1) = 10 230 yuan. Portanto, mesmo que ganhe um pouco (o que é improvável, porque o dinheiro ganho aumenta apenas numa progressão geométrica), acabará por perder tudo.
Talvez os leitores pensem que, apesar da possibilidade de perder várias vezes seguidas, esta situação é muito rara. A probabilidade de perder uma vez é de 1/2, a de perder duas vezes seguidas é de (1/2)^2 = 0.25, e a de perder 10 vezes seguidas é apenas de (1/2)^10≈0.001. Portanto, se o jogador só fizer 10 apostas, a probabilidade de perder todas é de cerca de 0.001. No entanto, se o jogador acreditar que a "aposta dupla" é garantida, continuará a jogar, e a probabilidade de perder 10 vezes seguidas não é tão baixa quanto se possa pensar. De acordo com os cálculos, se fizer cerca de 1500 apostas seguidas, a probabilidade de perder 10 vezes seguidas será superior a 1/2, o que significa que perderá o seu capital de 10 000 yuan com uma probabilidade superior a 1/2. Além disso, quanto mais apostas fizer, maior será a probabilidade de perder 10 vezes seguidas. Se fizer 5 000 apostas seguidas, a probabilidade de perder 10 vezes seguidas será superior a 90%.
Em geral, quanto mais o jogador continuar a jogar, maior será a probabilidade de perder 10, 15 ou 20 vezes seguidas. Portanto, independentemente do capital que o jogador tenha, se este for limitado, acabará por perder tudo.